Ensiklopedia

Dalam teori grup abelian , subgrup torsi A _T dari grup abelian A adalah subgrup dari A yang terdiri dari semua elemen yang memiliki ( elemen torsi dari A ^{[ 1 ]} ). Grup abelian A disebut grup 'torsi' (atau ) jika setiap elemen A memiliki urutan terbatas dan Disebut 'bebas torsi' jika setiap elemen A .

Buktinya A _T ditutup di bawah operasi grup bergantung pada komutatifitas operasi (lihat bagian contoh).

Jika A adalah abelian, maka subgrup torsi T adalah subgrup berkarakteristik lengkap dari A dan grup faktor A / T bebas torsi. Ada dari kategori grup abelian ke kategori grup torsi yang mengirimkan setiap grup ke subgrup torsi dan setiap homomorfisme ke pembatasannya ke subgrup torsi. Ada fungsi kovarian lain dari kategori grup abelian ke kategori grup bebas torsi yang mengirim setiap grup ke hasil bagi oleh subgrup torsi, dan mengirimkan setiap homomorfisme ke homomorfisme yang diinduksi secara jelas (yang mudah dilihat untuk didefinisikan dengan baik).

Jika A adalah dan abelian, maka dapat dituliskan sebagai dari subgrup torsi T dan subgrup bebas torsi (tetapi ini tidak berlaku untuk semua grup abelian yang dihasilkan tanpa batas). Dalam setiap dekomposisi A sebagai jumlah langsung dari subgrup torsi S dan subkelompok bebas torsi, S harus sama dengan T (tetapi subgrup bebas torsi tidak ditentukan secara unik). Ini adalah langkah kunci dalam klasifikasi .

Untuk setiap grup abelian ${\displaystyle (A,+)}$ dan bilangan prima p pada himpunan A _Tp dari elemen A yang memiliki urutan kekuatan p adalah subgrup yang disebut subgrup p pada torsi daya atau, lebih longgar, subgrup p torsi :

${\displaystyle A_{T_{p}}=\{a\in A\;|\;\exists n\in \mathbb {N} \;,p^{n}a=0\}.\;}$

Subgrup torsi A _T isomorfik terhadap jumlah langsung dari subgrup p torsi daya atas semua bilangan prima p :

${\displaystyle A_{T}\cong \bigoplus _{p\in P}A_{T_{p}}.\;}$

Ketika A adalah grup abelian terbatas, A _Tp bertepatan dengan dari A .

Setiap subgrup- p pada torsi daya dari A adalah subgrup karakteristik penuh . Lebih kuat lagi, setiap homomorfisme antara kelompok abelian mengirimkan setiap subgrup p torsi daya ke dalam subgrup torsi daya yang sesuai p .

Untuk setiap bilangan prima p , ini menyediakan dari kategori grup abelian ke kategori grup p torsi daya yang mengirim setiap grup ke subgrup p torsi daya, dan membatasi setiap homomorfisme ke subgrup p torsi. Produk di atas himpunan semua bilangan prima pembatasan fungsi ini ke kategori kelompok torsi, adalah dari kategori kelompok torsi ke produk atas semua bilangan prima dari kategori grup p torsi. Dalam arti tertentu, ini berarti bahwa mempelajari grup p torsi dalam isolasi memberi tahu kita segala sesuatu tentang kelompok torsi secara umum.

• Subset torsi dari grup non-abelian secara umum bukanlah subgrup. Misalnya, dalam , yang memiliki presentasi :

⟨ x , y | x ² = y ² = 1 ⟩

elemen xy adalah hasil kali dari dua elemen torsi, tetapi memiliki urutan tak hingga.

• Elemen torsi dalam grup nilpoten membentuk subgrup normal . ^{[ 2 ]}
• Setiap grup abelian terbatas adalah grup torsi. Namun tidak setiap grup torsi terbatas: pertimbangkan jumlah langsung dari salinan dari grup siklik C ₂ ; ini adalah kelompok torsi karena setiap elemen memiliki urutan 2. Juga tidak perlu ada batas atas pada urutan elemen dalam grup torsi jika tidak , sebagai contoh dari Q / Z .
• Setiap grup abelian bebas bebas torsi, tetapi kebalikannya tidak benar, seperti yang ditunjukkan oleh grup aditif dari bilangan rasional Q .
• Bahkan jika A tidak dibuat secara terbatas, ukuran dari bagian bebas puntirnya ditentukan secara unik, seperti yang dijelaskan lebih detail dalam artikel di peringkat grup abelian .
• Grup abelian A bebas torsi jika dan hanya jika sebagai modul Z , yang berarti bahwa setiap kali C adalah subgrup dari beberapa grup abelian B , maka peta natural dari C ⊗ A ke B ⊗ A adalah .
• Meregangkan grup abelian A dengan Q (atau grup yang dapat dibagi ) akan membunuh torsi. Artinya, jika T adalah grup torsi maka T ⊗ Q = 0. Untuk grup abelian umum A dengan subgrup torsi T pada A ⊗ Q ≅ A / T ⊗ Q .
• Mengambil subkelompok torsi membuat kelompok abelian torsi menjadi dari grup abelian, sementara mengambil hasil bagi oleh subkelompok torsi membuat kelompok abelian bebas torsi menjadi .

• ; ; Holt, Derek F.; Levy, Silvio V. F.; ; Thurston, William P. (1992), , Boston, MA: Jones and Bartlett Publishers, ISBN 0-86720-244-0