Ensiklopedia

Dalam matematika , presentasi adalah salah satu metode untuk menentukan grup . Presentasi dari grup G terdiri dari satu set S dari , sehingga setiap elemen grup dapat ditulis sebagai produk kekuatan dari beberapa generator ini, dan satu himpunan R dari relasi di antara generator tersebut. Kami kemudian mengatakan G memiliki presentasi

${\displaystyle \langle S\mid R\rangle .}$

Secara informal, G memiliki presentasi di atas jika itu adalah "grup paling bebas" yang dihasilkan oleh S yang hanya tunduk pada relasi R . Secara formal, grup G dikatakan memiliki presentasi di atas jika ke hasil bagi dari grup bebas pada S bebas oleh relasi R .

Sebagai contoh sederhana, grup siklik dengan urutan n memiliki penyajian

${\displaystyle \langle a\mid a^{n}=1\rangle ,}$

dimana 1 adalah identitas grup. Ini dapat ditulis sama dengan

${\displaystyle \langle a\mid a^{n}\rangle ,}$

berkat konvensi bahwa istilah-istilah yang tidak menyertakan tanda sama dengan dianggap sama dengan identitas grup. Istilah seperti itu disebut relator , membedakannya dari relasi yang menyertakan tanda sama dengan.

Setiap kelompok memiliki presentasi, dan ternyata banyak presentasi yang berbeda; presentasi sering kali merupakan cara paling ringkas untuk mendeskripsikan struktur grup.

Sebuah konsep yang terkait erat tetapi berbeda adalah konsep .

Grup bebas pada himpunan S adalah grup di mana setiap elemen dapat secara unik dijelaskan sebagai produk panjang terbatas dari bentuk:

${\displaystyle s_{1}^{a_{1}}s_{2}^{a_{2}}\cdots s_{n}^{a_{n}}}$

dimana s _i adalah elemen S, berdekatan s _i berbeda, dan a _i adalah bilangan bulat bukan nol (tetapi n bisa jadi nol). Dalam istilah yang kurang formal, grup tersebut terdiri dari kata-kata di generator dan inversnya , hanya tunduk pada pembatalan generator dengan kejadian invers yang berdekatan.

Jika G adalah grup apa pun, dan S adalah subset yang menghasilkan dari G , maka setiap elemen G juga berbentuk di atas; namun secara umum, produk ini tidak akan secara unik menggambarkan elemen G .

Misalnya, grup dihedral D ₈ berorde enam belas dapat dihasilkan oleh rotasi, r , berorde 8; dan flip, f , of order 2; dan tentunya setiap elemen D ₈ adalah produk dari r ' dan f ' .

Namun, kami memiliki, misalnya, rfr = f , r ⁷ = r ⁻¹ , dll., jadi produk seperti itu tidak unik di D ₈ . Masing-masing produk ekuivalen dapat diekspresikan sebagai persamaan dengan identitas, seperti

rfrf = 1 ,

r ⁸ = 1 , or

f ‍ ² = 1 .

Secara informal, kita dapat menganggap produk ini di sisi kiri sebagai elemen dari grup bebas F = < r , f > , dan dapat mempertimbangkan subgrup R dari F yang dihasilkan oleh string ini; masing-masing juga akan sama dengan 1 jika dianggap sebagai produk dalam D ₈ .

Jika kemudian kita membiarkan N menjadi subgrup dari F yang dihasilkan oleh semua konjugasi x ⁻¹ Rx dari R , maka berikut definisi bahwa setiap elemen N adalah produk hingga x ₁ ⁻¹ r ₁ x ₁ ... x _m ⁻¹ r _m x _m of anggota konjugat tersebut. Oleh karena itu, setiap elemen N , jika dianggap sebagai produk pada D ₈ , juga akan mengevaluasi ke 1; dan dengan demikian N adalah subgrup normal dari F . Jadi D ₈ isomorfik ke grup hasil bagi F / N . Kami kemudian mengatakan bahwa D ₈ memiliki presentasi

${\displaystyle \langle r,f\mid r^{8}=1,f^{2}=1,(rf)^{2}=1\rangle .}$

Di sini himpunan generatornya S = { r , f }, dan himpunan relasinya adalah R = { r ⁸ = 1, f ² = 1, ( rf ) ² = 1} . Kita sering melihat R disingkat, memberikan presentasi

${\displaystyle \langle r,f\mid r^{8}=f^{2}=(rf)^{2}=1\rangle .}$

Bentuk yang lebih pendek menghilangkan tanda-tanda kesetaraan dan identitas, untuk mendaftar hanya himpunan relator, yaitu { r ⁸ , f ² , ( rf ) ² } . Melakukan ini memberikan presentasi

${\displaystyle \langle r,f\mid r^{8},f^{2},(rf)^{2}\rangle .}$

Ketiga presentasi itu setara.

Meskipun notasi digunakan dalam artikel ini untuk presentasi sekarang yang paling umum, penulis sebelumnya menggunakan variasi yang berbeda pada format yang sama. Notasi tersebut meliputi: ^{[ butuh rujukan ]}

• ( S | R )
• { S ; R }
• ⟨ S ; R ⟩

Maka S menjadi satu set dan biarkan F _S jadilah di S . Misalkan R menjadi satu himpunan pada S , jadi R secara alami memberikan subset dari ${\displaystyle F_{S}}$ . Untuk membentuk grup dengan presentasi ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ , ambil hasil bagi dari ${\displaystyle F_{S}}$ oleh subgrup normal terkecil yang berisi setiap elemen R . (Subgrup ini disebut N dari R di ${\displaystyle F_{S}}$ .) Grup ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ kemudian ditentukan sebagai grup hasil bagi

${\displaystyle \langle S\mid R\rangle =F_{S}/N.}$

Elemen S disebut generator dari ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ dan elemen R disebut relator . Grup G dikatakan memiliki presentasi ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ if G isomorfik menjadi ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ . ^{[ 1 ]}

Merupakan praktik umum untuk menulis relator dalam bentuk ${\displaystyle x=y}$ di mana x dan y adalah kata-kata di S . Artinya adalah itu ${\displaystyle y^{-1}x\in R}$ . Ini memiliki arti intuitif bahwa gambar x dan y seharusnya sama dalam kelompok hasil bagi. Jadi, misalnya, r ⁿ dalam daftar relator sama dengan ${\displaystyle r^{n}=1}$ . ^{[ 1 ]}

Untuk grup hingga G , dimungkinkan untuk membuat presentasi G dari , sebagai berikut. Ambil S sebagai elemen set ${\displaystyle g_{i}}$ dari G dan R menjadi semua kata dalam bentuk ${\displaystyle g_{i}g_{j}g_{k}^{-1}}$ , dimana ${\displaystyle g_{i}g_{j}=g_{k}}$ adalah entri dalam tabel perkalian.

Definisi presentasi kelompok dapat disusun kembali dalam istilah kelas ekivalen dari kata-kata pada alfabet ${\displaystyle S\cup S^{-1}}$ . Dalam perspektif ini, kami mendeklarasikan dua kata menjadi setara jika memungkinkan untuk berpindah dari satu kata ke kata lain dengan serangkaian gerakan, di mana setiap gerakan terdiri dari menambah atau menghapus pasangan yang berurutan ${\displaystyle xx^{-1}}$ or ${\displaystyle x^{-1}x}$ untuk beberapa x di S , atau dengan menambahkan atau menghapus salinan relator yang berurutan. Elemen grup adalah kelas kesetaraan, dan operasi grup adalah penggabungan. ^{[ 1 ]}

Sudut pandang ini sangat umum di bidang .

Presentasi dikatakan jika S terbatas dan terkait dengan batas jika R terbatas. Jika keduanya terbatas maka dikatakan sebagai presentasi yang terbatas . Sebuah grup dihasilkan secara tak terbatas (masing-masing terkait secara tak terbatas , disajikan dengan halus ) jika itu memiliki presentasi yang dihasilkan secara terbatas (masing-masing terkait dengan halus, presentasi terbatas). Grup yang memiliki presentasi terbatas dengan satu relasi disebut grup relator satu .

Jika S diindeks oleh satu set I yang terdiri dari semua bilangan asli N atau subset yang terbatas dari mereka, maka mudah untuk mengatur pengkodean sederhana satu ke satu f : F _S → N dari grup bebas di S ke bilangan asli , sehingga kita dapat menemukan algoritme yang, diberikan f ( w ), hitung w , dan sebaliknya. Kami kemudian dapat memanggil subset U dari F _S (masing-masing ) jika f ( U ) adalah rekursif (masing-masing dapat dihitung secara rekursif). Jika S diindeks seperti di atas dan R dapat dihitung secara rekursif, maka penyajiannya adalah penyajian rekursif dan grup yang sesuai adalah disajikan secara rekursif . Penggunaan ini mungkin tampak aneh, tetapi dapat dibuktikan bahwa jika sebuah grup memiliki presentasi dengan R yang dapat dihitung secara rekursif, maka grup tersebut memiliki presentasi lain dengan R rekursif.

Setiap grup yang disajikan secara halus disajikan secara rekursif, tetapi ada grup yang disajikan secara rekursif yang tidak dapat disajikan secara halus. Namun, teorema Graham Higman menyatakan bahwa grup yang dihasilkan tak terhingga memiliki presentasi rekursif jika dan hanya jika dapat disematkan dalam grup yang disajikan tak terhingga. Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa ada (hingga isomorfisme) hanya banyak grup disajikan rekursif yang dihasilkan secara halus. telah menunjukkan bahwa terdapat banyak dua kelompok generator non-isomorfik. Oleh karena itu, ada grup yang dibuat secara terbatas yang tidak dapat disajikan secara rekursif.

Salah satu presentasi paling awal dari grup oleh generator dan hubungan diberikan oleh ahli matematika Irlandia William Rowan Hamilton pada tahun 1856, dalam presentasi dari . ^{[ 2 ]} Studi sistematis pertama diberikan oleh , siswa Felix Klein , pada awal 1880-an, meletakkan dasar untuk . ^{[ 3 ]}

Tabel berikut mencantumkan beberapa contoh presentasi untuk kelompok yang umum dipelajari. Perhatikan bahwa dalam setiap kasus ada banyak presentasi lain yang memungkinkan. Presentasi yang terdaftar belum tentu yang paling efisien.

Grup	Presentasi	Komentar
grup bebas pada S	${\displaystyle \langle S\mid \varnothing \rangle }$	Grup bebas adalah "bebas" dalam arti tidak ada hubungan.
C n , grup siklik dengan urutan n	${\displaystyle \langle a\mid a^{n}\rangle }$
D n , grup dihedral ketertiban 2 n	${\displaystyle \langle r,f\mid r^{n},f^{2},(rf)^{2}\rangle }$	Di sini r mewakili rotasi dan f refleksi
D ∞ , grup hingga	${\displaystyle \langle r,f\mid f^{2},(rf)^{2}\rangle }$
Dic n , grup siklik	${\displaystyle \langle r,f\mid r^{2n},r^{n}=f^{2},frf^{-1}=r^{-1}\rangle }$	Grup hasil bagi Q 8 adalah kasus khusus ketika n = 2
Z × Z	${\displaystyle \langle x,y\mid xy=yx\rangle }$
Z / m Z × Z / n Z	${\displaystyle \langle x,y\mid x^{m},y^{n},xy=yx\rangle }$
grup abelian bebas 0ada S	${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ di mana R adalah himpunan dari semua komutator elemen S
S n , grup simetris pada simbol n	generators: ${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}}$ relasi: ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}=1}$ , ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}{\mbox{ if }}j\neq i\pm 1}$ , ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}\ }$ Kumpulan relasi terakhir dapat diubah menjadi ${\displaystyle {(\sigma _{i}\sigma _{i+1}})^{3}=1\ }$ using ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}=1}$ .	Here σ i adalah permutasi yang menukar elemen i th dengan i + 1 satu. Produk σ i σ i +1 adalah 3-siklus pada himpunan { i , i +1, i +2}.
B n ,	generator: ${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}}$ relations: ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}{\mbox{ if }}j\neq i\pm 1}$ , ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}\ }$	Perhatikan kesamaan dengan grup simetris; satu-satunya perbedaan adalah penghapusan relasi ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}=1}$ .
T ≅ A 4 ,	${\displaystyle \langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{3}\rangle }$
O ≅ S 4 ,	${\displaystyle \langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{4}\rangle }$
I ≅ A 5 , kelompok ikosahedral	${\displaystyle \langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle }$
Q 8 , grup hasil bagi	${\displaystyle \langle i,j\mid jij=i,iji=j\rangle \,}$	Untuk presentasi alternatif lihat Dic n di atas dengan n = 2.
SL(2, Z )	${\displaystyle \langle a,b\mid aba=bab,(aba)^{4}\rangle }$	topologis a dan b dapat divisualisasikan sebagai pada torus
GL(2, Z )	${\displaystyle \langle a,b,j\mid aba=bab,(aba)^{4},j^{2},(ja)^{2},(jb)^{2}\rangle }$	nontrivial Z /2 Z – ekstensi grup pada SL(2, Z )
PSL(2, Z ),	${\displaystyle \langle a,b\mid a^{2},b^{3}\rangle }$	PSL(2, Z ) adalah dari grup siklik Z /2 Z and Z /3 Z
	${\displaystyle \langle x,y,z\mid z=xyx^{-1}y^{-1},xz=zx,yz=zy\rangle }$
BS( m , n ),	${\displaystyle \langle a,b\mid a^{n}=ba^{m}b^{-1}\rangle }$
	${\displaystyle \langle a,b\mid a^{2},b^{3},(ab)^{13},[a,b]^{5},[a,bab]^{4},((ab)^{4}ab^{-1})^{6}\rangle }$	[ a , b ] adalah komutator

Contoh yang disajikan tidak terbatas adalah produk karangan bunga ${\displaystyle \mathbf {Z} \wr \mathbf {Z} }$ dari grup bilangan bulat dengan dirinya sendiri.

Teorema. Setiap grio memiliki presentasi.

Untuk melihat ini, diberi grup G , pertimbangkan grup bebas F _G pada G . Dengan sifat universal grup bebas, terdapat homomorfisme grup φ : F _G → G yang batasannya untuk G adalah peta identitas. Misalkan K menjadi kernel dari homomorfisme ini. Kemudian K normal di F _G , Oleh karena itu sama dengan penutupan normalnya, jadi ⟨ G | K ⟩ = F _G / K . Karena peta identitas bersifat surjektif, φ juga bersifat surjektif, jadi menurut , ⟨ G | K ⟩ ≅ im( φ ) = G . Presentasi ini mungkin sangat tidak efisien jika G dan K lebih besar dari yang diperlukan.

Korollari. Setiap grup terbatas memiliki presentasi yang terbatas.

Seseorang dapat mengambil elemen grup untuk generator dan untuk relasi.

Solusi negatif untuk masalah kata untuk grup menyatakan bahwa ada presentasi yang terbatas ⟨ S | R ⟩ di mana tidak ada algoritma yang, diberikan dua kata u , v , memutuskan apakah u dan v mendeskripsikan elemen yang sama dalam grup. Hal ini ditunjukkan oleh pada tahun 1955 ^{[ 4 ]} dan bukti yang berbeda diperoleh oleh pada tahun 1958. ^{[ 5 ]}

Presentasi dari sebuah grup menentukan sebuah geometri, dalam pengertian : satu memiliki , yang memiliki metrik , yang disebut . Ini juga dua order yang dihasilkan, order lemah dan , dan diagram Hasse yang sesuai. Contoh penting ada di .

Lebih lanjut, beberapa properti grafik ini ( ) bersifat intrinsik, yang berarti tidak bergantung pada pilihan generator.

• ; (1980). Generators and Relations for Discrete Groups . New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9 . ― Referensi yang berguna ini memiliki tabel presentasi dari semua kelompok terbatas kecil, kelompok refleksi, dan seterusnya.
• (1997). Presentations of Groups (Edisi 2nd). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-58542-2 . ― Metode Schreier, metode Nielsen, presentasi gratis, subkelompok dan ekstensi HNN, , dll.
• (1994). Computation with Finitely Presented Groups (Edisi 1st). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-13507-8 . ― algoritma dasar dari ilmu komputer teoritis, teori bilangan komputasi, dan aljabar komutatif komputasi, dll.

• (Inggris) . "Group Presentation" . MathWorld .
• Small groups and their presentations on GroupNames