Ensiklopedia

Struktur aljabar → Teori grup Teori grup
Gagasan dasar Subgrup Subgrup normal Grup hasil bagi Homomorfisme grup kernel bayangan sederhana hingga aditif siklik dihedral nilpoten Daftar topik teori grup
Grup hingga Klasifikasi grup sederhana hingga siklik Teorema Lagrange Teorema Sylow grup-p Grup simetrik ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {V} }$ Grup dihedral ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$ Grup kuaternion ${\displaystyle \mathrm {Q} }$ Grup disiklik ${\displaystyle \mathrm {Dic} _{n}}$
Bilangan bulat ( ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ) Grup bebas ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}$
dan Grup Lie ${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {E} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$ ${\displaystyle O(\infty )}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (\infty )}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} (\infty )}$
Kurva eliptik
l b

Grup hasil bagi adalah grup , yang menggunakan konstruksi standar dari grup tertentu ${\displaystyle G}$ dengan bantuan sebagai ${\displaystyle N\trianglelefteq G}$ terbentuk. Maka dilambangkan dengan ${\displaystyle G/N}$ dan merupakan himpunan dari kelas minor .

Elemen-elemen dari ${\displaystyle G/N}$ adalah kelas minor sehubungan dengan ${\displaystyle N}$ , maka

${\displaystyle G/N:=\{gN:g\in G\}}$ .

Koneksi batin ${\displaystyle \circ \colon G/N\times G/N\rightarrow G/N}$ didefinisikan sebagai:

${\displaystyle (gN)\circ (hN):=(gh)N}$ .

Dengan bantuan properti pembagi normal ${\displaystyle N}$ seseorang dapat menunjukkan bahwa tautan ini adalah terdefinisi dengan baik dan ${\displaystyle (G/N,\ circ)}$ adalah grup. Grup ini disebut grup hasil bagi dari ${\displaystyle G}$ hingga ${\displaystyle N}$ . Elemen netral dari ${\displaystyle G/N}$ adalah ${\displaystyle N}$ dan elemen terbalik ke ${\displaystyle gN}$ diberikan ${\displaystyle g^{-1}N}$ .

Produk ${\displaystyle (gN)\circ (hN)=(gh)N}$ setuju dengan ${\displaystyle (gN)\cdot (hN)}$ pertandingan. Sebaliknya, seseorang dapat menunjukkan bahwa subgrup ${\displaystyle U}$ dari sebuah grup ${\displaystyle (G,\cdot )}$ adalah pembagi normal, jika untuk semua ${\displaystyle g,h\in G}$ persamaan ${\displaystyle (gU)\cdot (hU)=(gh)U}$ .

Dalam grup abelian setiap subgrup adalah subgrup normal . Jadi, setelah setiap subgrup, dapat dibentuk kelompok faktor di sana, yang selanjutnya adalah Abelian.

dari grup faktor ${\displaystyle G/N}$ tepatnya adalah jumlah kelas sekunder dari ${\displaystyle N}$ . Angka ini disebut oleh ${\displaystyle N}$ pada ${\displaystyle G}$ dan dengan ${\displaystyle (G:N)}$ ditunjuk. Jika ${\displaystyle G}$ adalah grup berhingga, maka berdasarkan Teorema Lagrange ${\displaystyle (G:N)=|G/N|={\tfrac {|G|}{|N|}}}$ .

Pertimbangkan grup bilangan bulat Z (di bawah tambahan) dan subgrup 2 Z yang terdiri dari semua integer genap. Ini adalah subgrup normal, karena Z adalah abelian . Hanya ada dua koset: himpunan bilangan bulat genap dan himpunan bilangan bulat ganjil, dan oleh karena itu grup hasil bagi Z /2 Z adalah grup siklik dengan dua elemen. Kelompok hasil bagi ini isomorfik dengan himpunan {0,1} dengan tambahan modulo 2; secara informal, kadang-kadang dikatakan demikian Z /2 Z memadai himpunan {0,1} dengan tambahan modulo 2.

Contoh dijelaskan lebih lanjut...

Maka ${\displaystyle \gamma (m)=}$ sisa dari ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$ saat membagi dengan ${\displaystyle 2}$ .
Kemudian ${\displaystyle \gamma (m)=0}$ jika ${\displaystyle m}$ adalah genap dan ${\displaystyle \gamma (m)=1}$ when ${\displaystyle m}$ adalah ganjil.
Menurut definisi ${\displaystyle \gamma }$ , inti dari ${\displaystyle \gamma }$ ,
ker( ${\displaystyle \gamma }$ ) ${\displaystyle =\{m\in \mathbb {Z} :\gamma (m)=0\}}$ , adalah himpunan dari semua bilangan bulat genap.
Maka ${\displaystyle H=}$ ker( ${\displaystyle \gamma }$ ).
Kemudian ${\displaystyle H}$ adalah subgrup, karena identitasnya di ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ , which is ${\displaystyle 0}$ , dalam ${\displaystyle H}$ ,
jumlah dari dua integer genap adalah genap dan karenanya jika ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ berada di ${\displaystyle H}$ , ${\displaystyle m+n}$ dalam ${\displaystyle H}$ (penutupan)
dan jika ${\displaystyle m}$ genap, ${\displaystyle -m}$ juga genap dan ${\displaystyle H}$ berisi inversnya.
Menetapkan ${\displaystyle \mu :}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ / H ${\displaystyle \to \mathbb {Z} _{2}}$ sebagai ${\displaystyle \mu (aH)=\gamma (a)}$ ke ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$
dan ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ / H adalah grup hasil bagi dari koset kiri; ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ / H ${\displaystyle =\{H,1+H\}}$ .
Dengan cara yang telah kami tentukan ${\displaystyle \mu }$ , ${\displaystyle \mu (aH)}$ adalah ${\displaystyle 1}$ jika ${\displaystyle a}$ ganjil dan ${\displaystyle 0}$ jika ${\displaystyle a}$ genap.
Jadi, ${\displaystyle \mu }$ adalah isomorfisme dari ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ / H ke ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ .

Jika ${\displaystyle G}$ adalah dan ${\displaystyle N}$ adalah normal ${\displaystyle G}$ , hasil bagi ${\displaystyle G}$ / ${\displaystyle N}$ juga merupakan grup Lie . Dalam kasus ini, grup asli ${\displaystyle G}$ memiliki struktur sebuah (khususnya, sebuah ), dengan ruang dasar ${\displaystyle G}$ / ${\displaystyle N}$ dan serat ${\displaystyle N}$ .

Untuk subgruo Lie non-normal ${\displaystyle N}$ , ruang ${\displaystyle G}$ / ${\displaystyle N}$ dari coset kiri bukanlah sebuah grup, tetapi hanya sebuah di mana ${\displaystyle G}$ bertindak. Hasilnya dikenal sebagai .

Jika subgrup ${\displaystyle N}$ ditutup (dalam arti topologi daripada aljabar kata tersebut), kemudian dimensi kelompok Lie atau ruang homogen ${\displaystyle G}$ / ${\displaystyle N}$ banding ${\displaystyle \mathrm {dim} \ G-\mathrm {dim} \ N}$ . ^{[ 1 ]}

Jika ${\displaystyle H}$ adalah pembagi normal dari ${\displaystyle G}$ , maka pemetaannya adalah ${\displaystyle \pi \colon G\rightarrow G/H}$ dengan ${\displaystyle g\mapsto gH}$ dengan kernel ${\displaystyle H}$ a , jadi homomorfisme . Sifat universal sekarang mengatakan, bahwa untuk setiap homomorfisme grup ${\displaystyle \varphi \colon G\rightarrow G'}$ mit ${\displaystyle H\subseteq ker(\varphi )}$ persis satu grup homomorfisme ${\displaystyle \varphi '\colon G/H\rightarrow G'}$ mit ${\displaystyle \varphi =\varphi '\circ \pi }$ existiert.

Contoh: jika ${\displaystyle \pi \colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} }$ proyeksi natural dari bilangan bulat ke kelas sisa modulo 6. Maka ${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} }$ Homomorfisme grup. Lalu grup lie ${\displaystyle 6\mathbb {Z} }$ pada inti ${\displaystyle \varphi }$ dan ${\displaystyle \varphi '\colon \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} }$ menghasilkan:

${\displaystyle \varphi '([0]_{6})=[0]_{3}}$

${\displaystyle \varphi '([1]_{6})=[1]_{3}}$

${\displaystyle \varphi '([2]_{6})=[2]_{3}}$

${\displaystyle \varphi '([3]_{6})=[0]_{3}}$

${\displaystyle \varphi '([4]_{6})=[1]_{3}}$

${\displaystyle \varphi '([5]_{6})=[2]_{3}}$ .

• Ekstensi grup

• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2003), Abstract Algebra (Edisi 3rd), New York: Wiley , ISBN 978-0-471-43334-7
• Herstein, I. N. (1975), Topics in Algebra (Edisi 2nd), New York: Wiley , ISBN 0-471-02371-X