Ensiklopedia

Struktur aljabar → Teori grup Teori grup
Gagasan dasar Subgrup Subgrup normal Grup hasil bagi Homomorfisme grup kernel bayangan sederhana hingga aditif siklik dihedral nilpoten Daftar topik teori grup
Grup hingga Klasifikasi grup sederhana hingga siklik Teorema Lagrange Teorema Sylow grup-p Grup simetrik ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {V} }$ Grup dihedral ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$ Grup kuaternion ${\displaystyle \mathrm {Q} }$ Grup disiklik ${\displaystyle \mathrm {Dic} _{n}}$
Bilangan bulat ( ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ) Grup bebas ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}$
dan Grup Lie ${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {E} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$ ${\displaystyle O(\infty )}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (\infty )}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} (\infty )}$
Kurva eliptik
l b

Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Sylow theorem di en.wikipedia.org. Isinya masih belum akurat , karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki Perbaikan Terjemahan . (Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula: panduan penerjemahan artikel )

Artikel ini sudah memiliki referensi , tetapi tidak disertai kutipan yang cukup . Anda dapat membantu mengembangkan artikel ini dengan menambahkan lebih banyak kutipan pada teks artikel. ( November 2020 ) ( Pelajari cara dan kapan saatnya untuk menghapus pesan templat ini )

Dalam matematika, khususnya di bidang , Teorema Sylow adalah kumpulan teorema yang dinamai menurut matematikawan Norwegia ( 1872 ) yang memberikan informasi rinci tentang jumlah subgrup dari yang berisi grup hingga tertentu. Teorema Sylow membentuk bagian fundamental dari teori grup hingga dan memiliki aplikasi yang sangat penting dalam klasifikasi grup sederhana hingga .

Untuk bilangan prima p , Sylow subgrup p (terkadang Sylow subgrup p dari grup G adalah maksimal subgrup p dari G , yaitu, subgrup dari G yaitu grup p (sehingga dari setiap elemen grup adalah dari p ) itu bukan subgrup yang tepat dari p lainnya, subgrup dari G . Himpunan dari semua Sylow subgrup p untuk prima tertentu p terkadang ditulis Syl _p ( G ).

Teorema Sylow menyatakan kebalikan parsial Teorema Lagrange . Teorema Lagrange menyatakan bahwa untuk setiap grup hingga G urutan (jumlah elemen) dari setiap subgrup G membagi urutan G . Teorema Sylow menyatakan bahwa untuk setiap p dari urutan grup hingga G , terdapat Sylow subgrup p order G p ⁿ , pangkat tertinggi p yang membagi urutan G . Selain itu, setiap subgrup order p ⁿ adalah Sylow subgrup p dari G , dan Sylow p - subgrup dari grup (untuk prime p tertentu) adalah satu sama lain. Selanjutnya, jumlah Sylow subgrup p dari grup untuk prima p yang diberikan kongruen dengan 1 mod p .

Kumpulan subgrup yang masing-masing maksimal dalam satu hal atau lainnya adalah hal biasa dalam teori grup. Hasil yang mengejutkan di sini adalah dalam kasus Syl _p ( G ), semua anggota sebenarnya satu sama lain dan memiliki urutan terbesar: jika | G | = p ⁿ m dengan n > 0 dimana p tidak membagi m , maka setiap Sylow subgrup p , P memiliki urutan | P | = p ⁿ . Artinya, P adalah grup p dan gcd (| G : P |, p ) = 1. Sifat ini dapat dimanfaatkan untuk menganalisis lebih lanjut struktur G .

Teorema berikut pertama kali diajukan dan dibuktikan oleh Ludwig Sylow pada tahun 1872, dan diterbitkan pada .

Teorema 1 : Untuk setiap p dengan n dari urutan grup hingga G , terdapat Sylow subgrup p dan G , berurutan p ⁿ .

Versi lemah teorema 1 berikut ini pertama kali dibuktikan oleh Augustin-Louis Cauchy , dan dikenal sebagai .

Korolari : Diberikan kelompok terbatas G dan bilangan prima p membagi urutan G , maka terdapat elemen (dan karenanya subgrup) berorde p pada G . ^{[ 1 ]}

Teorema 2 : Diberikan grup terbatas G dan bilangan prima p , pada Sylow subgrup p dari G adalah konjugasi satu sama lain, yaitu jika H dan K adalah Sylow subgrup p dari G , maka terdapat elemen g di G dengan g ⁻¹ Hg = K .

Teorema 3 : Misalkan p menjadi faktor prima dengan kelipatan n dari urutan grup hingga G , sehingga urutan G dapat dituliskan sebagai p ⁿ m , dimana n > 0 dan p tidak membagi m . Maka n _p jadilah jumlah Sylow subgrup p dari G . Kemudian penangguhan berikut:

• n _p membagi m , yang merupakan dari Sylow subgrup p pada G .
• n _p ≡ 1 (mod p ).
• n _p = | G : N _G ( P )|, di mana P adalah sembarang Sylow subgrup p dari G dan N _G menunjukkan .

Teorema Sylow menyiratkan bahwa untuk bilangan prima p setiap Sylow subgrup p memiliki urutan yang sama, p ⁿ . Sebaliknya, jika subgrup memiliki urutan p ⁿ , maka itu adalah Sylow subgrup p , dan begitu juga isomorfik untuk setiap Sylow subgrup p . Karena kondisi maksimalitas, jika H adalah salah satu p - subgrup dari G , maka H adalah subgrup dari subgrup p dari urutan p ⁿ .

Konsekuensi yang sangat penting dari Teorema 2 adalah kondisi tersebut n _p = 1 setara dengan mengatakan bahwa Sylow subgrup p , G adalah subgrup normal (ada grup yang memiliki subgrup normal tetapi tidak ada subgrup Sylow normal, seperti S ₄ ).

Ada analogi dari teorema Sylow untuk kelompok tak terbatas. Kami mendefinisikan Sylow subgrup p dalam grup tak terbatas menjadi subgrup p (yaitu, setiap elemen di dalamnya memiliki urutan daya p ) yang maksimal untuk dimasukkan di antara semua subgrup p dalam grup. Subgrup semacam itu ada oleh lemma Zorn .

Teorema : Jika K adalah Sylow p - subgrup dari G , dan n _p = |Cl( K )| terbatas, maka setiap Sylow subgrup p dikonjugasikan menjadi K , dan n _p ≡ 1 (mod p ), dimana Cl( K ) menunjukkan kelas konjugasi K .

Ilustrasi sederhana subgrup Sylow dan teorema Sylow adalah dari n -gon, D _{2 n} . Untuk n ganjil, 2 = 2 ¹ adalah pangkat tertinggi dari 2 yang membagi ordo, dan dengan demikian subgrup orde 2 adalah subgrup Sylow. Ini adalah grup yang dihasilkan oleh refleksi, yang mana terdapat n , dan semuanya terkonjugasi di bawah rotasi; secara geometris sumbu-sumbu simetri melewati sebuah simpul dan sisi.

Sebaliknya, jika n genap, maka 4 membagi urutan grup, dan subgrup orde 2 bukan lagi subgrup Sylow, dan kenyataannya mereka terbagi dalam dua kelas konjugasi, secara geometris menurut apakah mereka melewati dua simpul atau dua sisi. Ini terkait dengan , yang dapat diwakili oleh rotasi melalui π / n , setengah dari rotasi minimal dalam kelompok dihedral.

Contoh lainnya adalah p-subgrup Sylow dari GL ₂ ( F _q ), di mana p dan q adalah bilangan prima ≥ 3 dan p ≡ 1 (mod q ) , yang semuanya . Urutan GL ₂ ( F _q ) is ( q ² − 1)( q ² − q ) = ( q )( q + 1)( q − 1) ² . Maka q = p ⁿ m + 1, urutan GL ₂ ( F _q ) = p ^{2 n} m ′. Jadi dengan Teorema 1, urutan dari Sylow p adalah p ^{2 n} .

Salah satu subgrup P , adalah himpunan matriks diagonal ${\displaystyle {\begin{bmatrix}x^{im}&0\\0&x^{jm}\end{bmatrix}}}$ , x adalah salah satu dari F _q . Karena urutan F _q is q − 1, its primitive roots have order q − 1, which implies that x ^{( q − 1)/ p n} or x ^m dan semua kekuatannya memiliki urutan yang merupakan kekuatan p . Jadi, P adalah subkelompok di mana semua elemennya memiliki urutan yang merupakan kekuatan p . Jika p ⁿ pilihan untuk a dan b , membuat | P | = p ^{2 n} . Ini berarti P adalah Sylow p - subkelompok, yang abelian, karena semua matriks diagonal bolak-balik, dan karena Teorema 2 menyatakan bahwa semua Sylow subgrup p berkonjugasi satu sama lain GL ₂ ( F _q ) pada grup abelian .

Karena teorema Sylow memastikan keberadaan subgroup-p dari kelompok terbatas, ada baiknya mempelajari grup tatanan kekuatan utama lebih dekat. Sebagian besar contoh menggunakan teorema Sylow untuk membuktikan bahwa sekelompok urutan tertentu bukanlah sederhana . Untuk kelompok orde kecil, kondisi kesesuaian teorema Sylow sering kali cukup untuk memaksa keberadaan subgrup normal .

Contoh 1

Grup urutan pq , p dan q dengan bilangan prima p < q .

Contoh-2

Urutan grup 30, urutan grup 20, urutan grup p ² q , p dan bilangan prima berbeda q adalah beberapa aplikasi.

Contoh-3

(Grup ordo 60): Jika order | G | = 60 and G has more than one Sylow 5-subgroup, then G is simple.

Beberapa bilangan prima n sedemikian rupa sehingga setiap kelompok orde n berbentuk siklik. Dapat ditunjukkan bahwa n = 15 adalah bilangan seperti itu dengan menggunakan teorema Sylow: Misalkan G adalah sekelompok berorde 15 = 3 · 5 dan n ₃ menjadi jumlah Sylow 3-subgrup. Kemudian n ₃ ${\displaystyle \mid }$ 5 dan n ₃ ≡ 1 (mod 3). Satu-satunya nilai yang memenuhi batasan ini adalah 1; oleh karena itu, hanya ada satu subgrup berorde 3, dan itu harus normal (karena tidak memiliki konjugasi berbeda). Demikian pula, n ₅ harus membagi 3, dan n ₅ harus sama dengan 1 (mod 5); jadi ia juga harus memiliki satu subgrup normal berorde 5. Karena 3 dan 5 adalah , perpotongan kedua subgrup ini adalah trivial, dan jadi G haruslah dari grup orde 3 dan 5, yaitu grup siklik orde 15. Jadi, hanya ada satu grup orde 15 ( isomorfisme).

Contoh yang lebih kompleks melibatkan urutan grup sederhana terkecil yang bukan siklik . menyatakan bahwa jika orde suatu kelompok adalah hasil kali dari satu atau dua s, maka ia , sehingga kelompok tersebut tidak sederhana, atau merupakan orde utama dan berhubung dgn putaran. Ini mengesampingkan setiap grup hingga orde 30 (= 2 · 3 · 5) .

Jika G sederhana, dan | G | = 30, kemudian n ₃ must divide 10 ( = 2 · 5), dan n ₃ harus sama dengan 1 (mod 3). Karena baik 4 maupun 7 tidak membagi 10, dan jika n ₃ = 1 kemudian, seperti di atas, G akan memiliki subgrup normal berorde 3, dan tidak bisa sederhana. G kemudian memiliki 10 subgrup siklik berbeda dari orde 3, yang masing-masing memiliki 2 elemen orde 3 (indentitas penambahan). Ini berarti G memiliki setidaknya 20 elemen berbeda dari orde 3.

Juga, n ₅ = 6, karena n ₅ harus membagi 6 (= 2 · 3), dan n ₅ harus sama dengan 1 (mod 5). Jadi G juga memiliki 24 elemen berbeda dari orde 5. Tapi orde G hanya 30, jadi grup sederhana berorde 30 tidak mungkin ada.

Selanjutnya, misalkan | G | = 42 = 2 · 3 · 7. Di sini n ₇ harus membagi 6 ( = 2 · 3) dan n ₇ harus sama dengan 1 (mod 7), jadi n ₇ = 1. Jadi, seperti sebelumnya, G tidak bisa sederhana.

Di sisi lain, untuk | G | = 60 = 2 ² · 3 · 5, maka n ₃ = 10 dan n ₅ = 6 sangat mungkin. Dan faktanya, grup non-siklik sederhana terkecil adalah A ₅ , lebih dari 5 elemen. Ia memiliki urutan 60, dan memiliki 24 dari urutan 5, dan 20 dari urutan 3.

Bagian dari Teorema Wilson menyatakan bahwa

${\displaystyle (p-1)!\ \equiv \ -1{\pmod {p}}}$

untuk setiap prima p . Seseorang dapat dengan mudah membuktikan teorema ini dengan teorema ketiga Sylow. Memang, perhatikan bahwa bilangan n _p dari Sylow subgrup p dalam grup simetris S _p is ( p − 2)!. Maka, n _p ≡ 1 (mod p ). Karenanya, ( p − 2)! ≡ 1 (mod p ). So, ( p − 1)! ≡ −1 (mod p ).

menunjukkan bahwa subkelompok Sylow dari subkelompok normal menyediakan faktorisasi dari grup hingga. Sebuah generalisasi kecil yang dikenal sebagai Teorema fusi Burnside menyatakan Bahwa jika G adalah grup berhingga dengan Sylow subgrup p dan dua himpunan bagian A dan B dinormalisasi oleh P , lalu A dan B adalah konjugasi G jika dan hanya jika ada konjugasi N _G ( P ). Buktinya adalah aplikasi sederhana dari teorema Sylow: Jika B = A ^g , maka penormal B tidak hanya berisi P tetapi juga P ^g (karena P ^g terkandung dalam penormal dari A ^g ). Dengan teorema Sylow P dan P ^g terkonjugasi tidak hanya dalam G , tetapi dalam penormalisasi B . Karenanya gh ⁻¹ menormalkan P untuk beberapa h yang menormalkan B , lalu A ^{gh −1} = B ^{h −1} = B , so that A dan B adalah konjugasi N _G ( P ). Teorema fusi Burnside dapat digunakan untuk memberikan faktorisasi yang lebih kuat yang disebut produk setengah langsung : jika G adalah grup terbatas yang Sylow p - subkelompok P terdapat di tengah penormalnya, lalu G memiliki subgrup normal K dengan urutan coprime ke P , G = PK and P ∩ K = {1}, yaitu, G adalah .

Aplikasi yang kurang sepele dari teorema Sylow termasuk , yang mempelajari kontrol Sylow p - subkelompok dari memiliki struktur keseluruhan. Kontrol ini dieksploitasi pada beberapa tahap klasifikasi grup sederhana hingga , dan misalnya mendefinisikan pembagian kasus yang digunakan dalam yang mengklasifikasikan hingga grup sederhana yang subgrup Sylow 2-nya adalah . Ini bergantung pada memperkuat bagian konjugasi dari teorema Sylow untuk mengontrol jenis elemen apa yang digunakan dalam konjugasi.

Teorema Sylow telah dibuktikan dalam beberapa cara, dan sejarah pembuktian itu sendiri adalah subjek dari banyak makalah termasuk ( Waterhouse 1980 ), ( Scharlau 1988 ), ( Casadio & Zappa 1990 ), ( Gow 1994 ), dan sampai batas tertentu ( Meo 2004 ).

Salah satu bukti teorema Sylow mengeksploitasi gagasan tindakan grup dalam berbagai cara kreatif. Grup G bertindak pada dirinya sendiri atau pada himpunan p -subgrupnya dengan berbagai cara, dan setiap tindakan tersebut dapat dimanfaatkan untuk membuktikan salah satu teorema Sylow. Bukti berikut didasarkan pada argumen kombinatorial dari ( Wielandt 1959 ). Berikut ini, kami menggunakan a ${\displaystyle \mid }$ b sebagai notasi untuk "a divides b" dan a ${\displaystyle \nmid }$ b untuk meniadakan pernyataan ini.

Teorema 1 : Grup terbatas G yang urutannya | G | dapat dibagi oleh kekuatan utama p ^k memiliki subgrup order p ^k .

Bukti: Karena | G | = p ^k m = p ^k+r u dirumuskan p ${\displaystyle \nmid }$ u , dan misalkan Ω menunjukkan himpunan himpunan bagian dari ukuran G yaitu p ^k . G pada Ω dengan perkalian kiri: g ⋅ω = { gx | x ∈ ω }. Untuk himpunan tertentu ω ∈ Ω, dituliskan G _ω untuk subgrup penstabil { g ∈ G | g ⋅ω = ω } dan G ω untuk orbit { g ⋅ω | g ∈ G } pada Ω.

Buktinya akan menunjukkan adanya beberapa ω ∈ Ω yang dirumuskan G _ω memiliki p ^k elemen, menyediakan subkelompok yang diinginkan. Ini adalah ukuran maksimal dari subgrup penstabil G _ω , karena untuk setiap elemen tetap α ∈ ω ⊆ G , gambar G _ω di bawah peta bijektiva G → G perkalian kanan dengan α ( g ↦ g α) terkandung dalam ω; karena itu, | G _ω | ≤ |ω| = p ^k .

Dengan teorema penstabil orbit yang kami miliki | G _ω | | G ω| = | G | untuk setiap ω ∈ Ω, dan karenanya menggunakan ν _p , yang menghitung jumlah faktor p , yang dimiliki ν _p (| G _ω |) + ν _p (| G ω|) = ν _p (| G |) = k + r . Ini berarti bagi mereka ω dengan | G _ω | = p ^k , yang kita cari, satu sudah yaitu ν _p (| G ω|) = r , sedangkan untuk ω lainnya memiliki ν _p (| G ω|) > r (as 0 < | G _ω | < p ^k berarti ν _p (| G ω|) < k ). Karena | Ω | adalah jumlah dari | G ω| pada semua orbit berbeda G ω, seseorang dapat menunjukkan keberadaan ω dari tipe sebelumnya dengan menunjukkan itu ν _p (|Ω|) = r (jika tidak ada, penilaian itu akan melebihi r ). Ini adalah turunan dari (karena dalam basis p notasi bilangan | G | diakhiri dengan tepat k + r digit nol, mengurangi p ^k darinya melibatkan carry di tempat r ), dan juga dapat ditampilkan dengan perhitungan sederhana:

${\displaystyle |\Omega |={p^{k}m \choose p^{k}}=\prod _{j=0}^{p^{k}-1}{\frac {p^{k}m-j}{p^{k}-j}}=m\prod _{j=1}^{p^{k}-1}{\frac {p^{k-\nu _{p}(j)}m-j/p^{\nu _{p}(j)}}{p^{k-\nu _{p}(j)}-j/p^{\nu _{p}(j)}}}}$

dan tidak ada kekuatan p yang tersisa di salah satu faktor di dalam produk di sebelah kanan. Karenanya ν _p (|Ω|) = ν _p ( m ) = r , melengkapi buktinya.

Dapat dicatat bahwa sebaliknya setiap subgrup H berurutan p ^k menimbulkan himpunan ω ∈ Ω yaitu G _ω = H , yaitu salah satu dari m kohimpunan berbeda Hg .

Lemma : Misalkan G menjadi grup p yang terbatas, misalkan Ω himpunan terbatas, misalkan Ω _G menjadi himpunan yang dihasilkan oleh aksi G pada semua elemen Ω, dan biarkan Ω ₀ menunjukkan himpunan titik Ω _G yang ditetapkan di bawah aksi G . Kemudian |Ω _G | ≡ |Ω ₀ | (mod p ).

Bukti: Tuliskan Ω _G sebagai jumlah orbit yang saling lepas di bawah G . Elemen x ∈ Ω _G tidak ditetapkan oleh G akan terletak pada urutan orbit | G |/| G _x | (di mana G _x menunjukkan ), yang merupakan kelipatan dari p dengan asumsi. Hasilnya segera menyusul.

Teorema 2 : Jika H adalah subgrup p dari G dan P adalah Sylow p - subgrup dari G , maka ada elemen ' 'g' 'dalam' 'G' 'seperti itu g ⁻¹ Hg ≤ P . Secara khusus, semua Sylow p - subgrup dari G adalah konjugasi satu sama lain (dan karena itu isomorfik ), yaitu, jika H dan K adalah Sylow p - subgrup dari G , maka terdapat elemen g dalam G dengan g ⁻¹ Hg = K .

Bukti: Misalkan Ω adalah himpunan coset kiri dari P dalam G dan biarkan H bekerja pada Ω dengan perkalian kiri. Menerapkan Lemma ke H pada Ω, kita melihat |Ω ₀ | ≡ |Ω| = [ G : P ] (mod p ). Sekarang p ${\displaystyle \nmid }$ [ G : P ] menurut definisi jadi p ${\displaystyle \nmid }$ |Ω ₀ |, karenanya secara khusus |Ω ₀ | ≠ 0 begitu ada beberapa gP ∈ Ω ₀ . Oleh karena itu untuk beberapa g ∈ G dan ∀ h ∈ H yang kami miliki hgP = gP so g ⁻¹ HgP = P dan oleh karena itu g ⁻¹ Hg ≤ P . Sekarang jika H adalah Sylow subgrup p , | H | = | P | = | gPg ⁻¹ | jadi H = gPg ⁻¹ untuk beberapa g ∈ G .

Teorema 3 : Misalkan q menunjukkan urutan Sylow subgrup p dari grup P hingga G . Misalkan n _p menunjukkan jumlah Sylow subgrup p dari G . Kemudian n _p = | G : N _G ( P )|, n _p ${\displaystyle \mid }$ | G |/ q dan n _p ≡ 1 (mod p ), dimana N _G ( P ) adalah dari P

Masalah menemukan subkelompok Sylow dari kelompok tertentu merupakan masalah penting dalam .

Salah satu bukti keberadaan Sylow p - subkelompok konstruktif: jika H adalah subgrup p G dan indeks [ G : H ] habis dibagi p , lalu normalizer N = N _G ( H ) dari H dalam G juga sedemikian rupa sehingga [ N : H ] habis dibagi p . Dengan kata lain, sistem pembuatan polisiklik dari Sylow p - subkelompok dapat ditemukan dengan memulai dari subgrup- p pada H (termasuk identitas) dan mengambil elemen p - urutan daya yang terkandung dalam normalizer H tetapi tidak dalam H itu sendiri. Versi algoritmik ini (dan banyak peningkatan) dijelaskan dalam bentuk buku teks di ( Butler 1991 , Chapter 16), termasuk algoritme yang dijelaskan dalam ( Cannon 1971 ). Versi ini masih digunakan dalam .

Dalam grup permutasi terbukti di (Kantor 1985a , 1985b , 1990 ; Kantor & Taylor 1988 ) bahwa Sylow p - subgrup dan normalnya dapat ditemukan di dari input (derajat grup dikalikan jumlah generator). Algoritme ini dijelaskan dalam bentuk buku teks di ( Seress 2003 ), dan sekarang menjadi praktis karena pengakuan konstruktif dari kelompok sederhana hingga menjadi kenyataan. Secara khusus, versi dari algoritma ini digunakan dalam .

• (1872), "Théorèmes sur les groupes de substitutions" , (dalam bahasa Prancis), 5 (4): 584– 594, doi : 10.1007/BF01442913 , 04.0056.02

• Casadio, Giuseppina; Zappa, Guido (1990), "History of the Sylow theorem and its proofs", Boll. Storia Sci. Mat. (dalam bahasa Italia), 10 (1): 29– 75, ISSN 0392-4432 , MR 1096350 , 0721.01008
• Gow, Rod (1994), "Sylow's proof of Sylow's theorem", Irish Math. Soc. Bull. (33): 55– 63, ISSN 0791-5578 , MR 1313412 , 0829.01011
• Kammüller, Florian; Paulson, Lawrence C. (1999), "A formal proof of Sylow's theorem. An experiment in abstract algebra with Isabelle HOL" (PDF) , J. Automat. Reason. , 23 (3): 235– 264, doi : 10.1023/A:1006269330992 , ISSN 0168-7433 , MR 1721912 , 0943.68149 , diarsipkan dari asli (PDF) tanggal 2006-01-03
• Meo, M. (2004), "The mathematical life of Cauchy's group theorem", , 31 (2): 196– 221, doi : 10.1016/S0315-0860(03)00003-X , ISSN 0315-0860 , MR 2055642 , 1065.01009
• Scharlau, Winfried (1988), "Die Entdeckung der Sylow-Sätze", (dalam bahasa Jerman), 15 (1): 40– 52, doi : 10.1016/0315-0860(88)90048-1 , ISSN 0315-0860 , MR 0931678 , 0637.01006
• (1980), "The early proofs of Sylow's theorem", Arch. Hist. Exact Sci. , 21 (3): 279– 290, doi : 10.1007/BF00327877 , ISSN 0003-9519 , MR 0575718 , 0436.01006
• Wielandt, Helmut [in Jerman] (1959), "Ein Beweis für die Existenz der Sylowgruppen", Arch. Math. (dalam bahasa Jerman), 10 (1): 401– 402, doi : 10.1007/BF01240818 , ISSN 0003-9268 , MR 0147529 , 0092.02403

• Butler, G. (1991), Fundamental Algorithms for Permutation Groups , , vol. 559, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/3-540-54955-2 , ISBN 978-3-540-54955-0 , MR 1225579 , 0785.20001
• Cannon, John J. (1971), "Computing local structure of large finite groups", Computers in Algebra and Number Theory ( Proc. SIAM-AMS Sympos. Appl. Math. , New York, 1970) , SIAM-AMS Proc. , vol. 4, Providence, RI: AMS , hlm. 161– 176, ISSN 0160-7634 , MR 0367027 , 0253.20027
• Kantor, William M. (1985a), "Polynomial-time algorithms for finding elements of prime order and Sylow subgroups" (PDF) , J. Algorithms , 6 (4): 478– 514, CiteSeerX 10.1.1.74.3690 , doi : 10.1016/0196-6774(85)90029-X , ISSN 0196-6774 , MR 0813589 , 0604.20001
• (1985b), "Sylow's theorem in polynomial time", J. Comput. Syst. Sci. , 30 (3): 359– 394, doi : 10.1016/0022-0000(85)90052-2 , ISSN 1090-2724 , MR 0805654 , 0573.20022
• Kantor, William M.; Taylor, Donald E. (1988), "Polynomial-time versions of Sylow's theorem", J. Algorithms , 9 (1): 1– 17, doi : 10.1016/0196-6774(88)90002-8 , ISSN 0196-6774 , MR 0925595 , 0642.20019
• Kantor, William M. (1990), "Finding Sylow normalizers in polynomial time", J. Algorithms , 11 (4): 523– 563, doi : 10.1016/0196-6774(90)90009-4 , ISSN 0196-6774 , MR 1079450 , 0731.20005
• Seress, Ákos (2003), Permutation Group Algorithms , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 152, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-66103-4 , MR 1970241 , 1028.20002

• Hazewinkel, Michiel , ed. (2001) [1994], , Encyclopedia of Mathematics , Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
• Abstract Algebra/Group Theory/The Sylow Theorems di Wikibuku
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Sylow p-Subgroup" . MathWorld .
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Sylow Theorems" . MathWorld .