Ensiklopedia

Terompet Jibril ( bahasa Inggris : Gabriel's horn ) ^{[ 1 ]} atau juga disebut terompet Torricelli adalah jenis benda geometris yang memiliki luas permukaan yang tak terhingga, tetapi volumenya terhingga (terbatas), Nama dari terompet itu merujuk kepada tradisi Kristen , yakni terompet yang ditiup oleh malaikat Gabriel untuk mengumumkan Hari Penghakiman . Sifat-sifat terompet ini pertama kali dikaji oleh seorang fisikawan sekaligus matematikawan berkebangsaan Italia yang bernama Evangelista Torricelli pada abad ke-17.

Terompet Jibril terbentuk dengan menggambarkan grafik fungsi $${\displaystyle y={\frac {1}{x}},}$$ dengan domain ${\displaystyle x\geq 1}$ dan kemudian berputar di sumbu- ${\displaystyle x}$ . Terompet ini ditemukan dengan menggunakan , tetapi karena adanya penemuan kalkulus , sifat-sifat pengukuran seperti volume dan luas permukaannya di antara ${\displaystyle x=1}$ dan ${\displaystyle x=a}$ (dengan ${\displaystyle a>1}$ ) dapat dihitung. ^{[ 2 ]} Menggunakan pengintegralan, volume ${\displaystyle V}$ dan luas permukaan ${\displaystyle A}$ dari suatu terompet Jibril dapat dinyatakan sebagai: $${\displaystyle {\begin{aligned}V&=\pi \int _{1}^{a}\left({\frac {1}{x}}\right)^{2}\,\mathrm {d} x=\pi \left(1-{\frac {1}{a}}\right),\\A&=2\pi \int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}{\sqrt {1+\left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x>2\pi \int _{1}^{a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}=2\pi \cdot \left[\ln x\right]_{1}^{a}=2\pi \ln a.\end{aligned}}}$$

Nilai ${\displaystyle a}$ dapat bernilai besar. Jika dilihat dari persamaan volumenya di antara ${\displaystyle x=1}$ dan ${\displaystyle x=a}$ , hasilnya tidak pernah mencapai ${\displaystyle \pi }$ . Akan tetapi, hasilnya secara perlahan-lahan mendekati ${\displaystyle \pi }$ ketika ${\displaystyle a}$ semakin naik. Secara matematis, volumenya mendekati ${\displaystyle \pi }$ saat ${\displaystyle a}$ mendekati tak terhingga. Dengan menggunakan notasi limit , ^{[ 3 ]} $${\displaystyle \lim _{a\to \infty }V=\lim _{a\to \infty }\pi \left(1-{\frac {1}{a}}\right)=\pi \cdot \lim _{a\to \infty }\left(1-{\frac {1}{a}}\right)=\pi .}$$

Rumus luas permukaan di atas memberikan batas bawah untuk luas yang dinyatakan sebagai ${\displaystyle 2\pi }$ dikali dengan logaritma alami dari ${\displaystyle a}$ , tetapi logaritma dari ${\displaystyle a}$ tidak memiliki batas atas saat ${\displaystyle a}$ mendekati tak terhingga. Karena itu, terompet Jibril memiliki luas permukaan yang tak terhingga. Lagi-lagi, dengan menggunakan notasi limit, ^{[ 3 ]} $${\displaystyle \lim _{a\to \infty }A\geq \lim _{a\to \infty }2\pi \ln a=\infty .}$$

• Fleron, Julian F. (1999). "Gabriel's Wedding Cake". . 30 (1): 35– 38. doi : 10.2307/2687201 . JSTOR 2687201 . Pemeliharaan CS1: Ref menduplikasi bawaan ( link )
• Havil, Julian (2007). Nonplussed!: mathematical proof of implausible ideas . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12056-0 . Pemeliharaan CS1: Ref menduplikasi bawaan ( link )
• Varberg, Dale E.; Purcell, Edwin Joseph; Rigdon, Steven E. (2007). Calculus (Edisi 9). Pearson Prentice Hall. ISBN 0-13-1469-68-1 . Pemeliharaan CS1: Ref menduplikasi bawaan ( link )