Ensiklopedia

Teorema nilai purata atau teorema nilai rata-rata menyatakan bahwa pada sembarang bagian kurva mulus, terdapat paling tidak satu titik di mana turunan (kemiringan) kurva tersebut sama dengan (sejajar terhadap) "rata-rata" turunan bagian kurva tersebut. ^{[ 1 ]} Teorema ini digunakan untuk membuktikan berbagai teorema lain tentang fungsi pada suatu selang, yang dimulai dengan anggapan tentang turunan pada titik-titik di selang tersebut.

Teorema ini dapat dipahami dengan menerapkannya pada gerakan: bila sebuah mobil menempuh jarak 100 km dalam satu jam, sehingga rata-rata kecepatannya dalam waktu itu adalah 100 km/jam, maka pada suatu waktu dalam perjalanan itu mobil haruslah tepat 100 km/jam.

Versi awal teorema ini pertama kali diperikan oleh (1370–1460) dari mazhab astronomi dan matematika Kerala dalam komentarnya tentang and Bhaskara II . ^{[ 2 ]} Bentuk modern teorema nilai rata-rata dinyatakan oleh Augustin Louis Cauchy (1789–1857)

Teorema nilai rata-rata merupakan salah satu hasil terpenting dalam kalkulus diferensial , dan juga salah satu teorema penting dalam analisis matematika , dan esensial dalam membuktikan teorema dasar kalkulus .

Kasus khusus teorema ini pertama kali dijelaskan oleh (1370–1460), dari di India , dalam komentarnya tentang dan Bhāskara II . ^{[ 3 ]} Suatu bentuk teorema terbatas dibuktikan oleh pada tahun 1691; hasilnya adalah apa yang sekarang dikenal sebagai Teorema Rolle , dan terbukti hanya untuk polinomial, tanpa teknik kalkulus. Teorema nilai rata-rata dalam bentuk modernnya dinyatakan dan dibuktikan oleh Augustin Louis Cauchy pada tahun 1823. ^{[ 4 ]}

Misalkan f : [ a , b ] → R adalah fungsi kontinu pada selang tertutup [ a , b ], and dan terdiferensialkan pada selang terbuka ( a , b ), di mana a < b . Maka terdapat suatu c dalam ( a , b ) sehingga

${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

Teorema nilai rata-rata adalah generalisasi teorema Rolle , yang menganggap f ( a ) = f ( b ), sehingga ruas kanan persamaan di atas adalah nol.

Teorema nilai rata-rata masih sahih dalam keadaan yang lebih umum. Kita hanya perlu mengasumsikan bahwa f :[ a , b ] → R adalah kontinu dalam selang [ a , b ], dan untuk setiap x dalam ( a , b ), limitnya adalah

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

ada sebagai bilangan terhingga atau sama dengan +∞ atau −∞. Bila berhingga, limit tersebut sama dengan f' ( x ). Contoh versi teorema ini berlaku diberikan oleh fungsi riil akar kubik yang memetakan x ke x ^1/3 , yang turunannya mengarah ke takhingga di titik asal.

Perhatikan bahwa teorema ini tidak berlaku bila fungsi terdiferensialkan itu bernilai kompleks, alih-alih bernilai riil. Sebagai contoh, definisikan ${\displaystyle f(x)=e^{ix}}$ untuk semua x bernilai riil. Maka

${\displaystyle f(2\pi )-f(0)=0=0(2\pi -0)}$ ,

sedangkan

${\displaystyle |f'(x)|=1}$ .

Pernyataan ( ƒ ( b ) − ƒ ( a )) / ( b − a ) memberikan kemiringan garis yang menghubungkan titik ( a , ƒ ( a )) dan ( b , ƒ ( b )), yang merupakan garis sekan (tali busur) grafik fungsi f , sementara ƒ ′( x ) memberikan kemiringan garis singgung kurva di titik ( x , ƒ ( x )). Maka teorema nilai purata menyebutkan bahwa kita dapat menemukan titik yang berada di antara titik-titik ujung garis sekan tersebut sehingga garis singgung di titik tersebut sejajar dengan garis sekan.

Definisikan g ( x ) = ƒ ( x ) − rx , di mana r adalah konstanta. Karena ƒ kontinu pada [ a , b ] dan terdiferensialkan pada( a , b ), hal yang sama juga berlaku buat g . Kita sekarang ingin memilih r sedemikian sehingga g memenuhi syarat teorema Rolle , yaitu

${\displaystyle {\begin{aligned}g(a)=g(b)&\Leftrightarrow f(a)-ra=f(b)-rb\\&\Leftrightarrow r={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\cdot \end{aligned}}}$

Menurut teorema Rolle, karena g kontinu, dan g ( a ) = g ( b ), terdapat suatu c dalam ( a , b ) sedemikian sehingga g ′( c ) = 0, dan dari persamaan g ( x ) = ƒ ( x ) − rx berarti

${\displaystyle f'(c)=g'(c)+r=0+r={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$

seperti yang hendak dibuktikan.

Bagian ini memerlukan pengembangan . Anda dapat membantu dengan .

• (Inggris) PlanetMath: Mean-Value Theorem Diarsipkan 2009-11-18 di Wayback Machine .
• (Inggris) Mathworld: Mean-Value Theorem