Ensiklopedia

Limit suatu fungsi merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis , tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu.

Suatu fungsi memetakan keluaran f(x) untuk setiap masukan x . Fungsi tersebut memiliki limit L pada titik masukan p bila f(x) "dekat" pada L ketika x dekat pada p . Dengan kata lain, f(x) menjadi semakin dekat kepada L ketika x juga mendekat menuju p . Lebih jauh lagi, bila f diterapkan pada tiap masukan yang cukup dekat pada p , hasilnya adalah keluaran yang (secara sembarang) dekat dengan L . Bila masukan yang dekat pada p ternyata dipetakan pada keluaran yang sangat berbeda, fungsi f dikatakan tidak memiliki limit.

Definisi limit dirumuskan secara formal mulai abad ke-19 .

Meskipun termasuk secara implisit dalam pengembangan kalkulus pada abad ke-17 dan 18, gagasan modern limit fungsi baru dibahas oleh Bolzano , yang pada 1817, memperkenalkan dasar-dasar teknik . ^{[ 1 ]} Namun karyanya tidak diketahui semasa hidupnya.

Cauchy membahas limit dalam karyanya Cours d'analyse (1821) dan tampaknya telah menyatakan intisari gagasan tersebut, tapi tidak secara sistematis. ^{[ 2 ]} Presentasi yang ketat terhadap khalayak ramai pertama kali diajukan oleh Weirstrass pada dasawarsa 1850-an dan 1860-an, ^{[ 3 ]} dan sejak itu telah menjadi metode baku untuk menerangkan limit.

Notasi tertulis menggunakan singkatan lim dengan anak panah diperkenalkan oleh Hardy dalam bukunya A Course of Pure Mathematics pada tahun 1908. ^{[ 2 ]}

Berikut beberapa definisi limit fungsi yang umum diterima.

Bila f : R ${\displaystyle \rightarrow }$ R terdefinisi pada garis bilangan riil , dan p, L ${\displaystyle \in }$ R maka kita menyebut limit f ketika x mendekati p adalah L , yang ditulis sebagai:

${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L}$

jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga | x - p |< δ mengimplikasikan bahwa | f ( x ) - L | < ε . Di sini, baik ε maupun δ merupakan bilangan riil. Perhatikan bahwa nilai limit tidak tergantung pada nilai f ( p )

Masukan x dapat mendekati p dari atas (kanan di garis bilangan) atau dari bawah (kiri). Dalam hal ini limit masing-masingnya dapat ditulis sebagai

${\displaystyle \lim _{x\to p^{+}}f(x)=L}$

atau

${\displaystyle \lim _{x\to p^{-}}f(x)=L}$

Bila kedua limit ini sama nilainya dengan L , maka L dapat diacu sebagai limit f(x) pada p . Sebaliknya, bila keduanya tidak bernilai sama dengan L , maka limit f(x) pada p tidak ada.

Definisi formal adalah sebagai berikut. Limit f ( x ) saat x mendekati p dari atas adalah L bila, untuk setiap ε > 0, terdapat sebuah bilangan δ > 0 sedemikian rupa sehingga | f ( x ) - L| < ε pada saat 0 < x - p < δ. Limit f ( x ) saat x mendekati p dari bawah adalah L bila, untuk setiap ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 sehingga | f ( x ) - L| < ε bilamana 0 < p - x < δ.

Bila limitnya tidak ada terdapat osilasi matematis tidak nol.

Bila dua unsur, ketakhinggaan positif dan negatif {-∞, +∞}, ditambahkan pada garis bilangan riil, kita dapat mendefinisikan limit fungsi pada ketakhinggaan. Dua unsur tambahan ini bukanlah bilangan, namun berguna dalam memerikan kelakuan limit pada kalkulus dan analisis.

Bila f ( x ) adalah fungsi riil, maka limit f saat x mendekati tak hingga adalah L , dilambangkan sebagai:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=L,}$

jika dan hanya jika untuk semua ε > 0 terdapat S > 0 sedemikian rupa sehingga | f ( x ) - L | < ε bilamana x > S .

Dengan cara yang sama, limit f saat x mendekati tak hingga adalah tak hingga , dilambangkan oleh

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\infty ,}$

jika dan hanya jika bila untuk semua R > 0 terdapat S > sedemikian sehingga f ( x ) > R bilamana x > S .

${\displaystyle {\begin{matrix}\lim \limits _{x\to p}&(f(x)+g(x))&=&\lim \limits _{x\to p}f(x)+\lim \limits _{x\to p}g(x)\\\lim \limits _{x\to p}&(f(x)-g(x))&=&\lim \limits _{x\to p}f(x)-\lim \limits _{x\to p}g(x)\\\lim \limits _{x\to p}&(f(x)\cdot g(x))&=&\lim \limits _{x\to p}f(x)\cdot \lim \limits _{x\to p}g(x)\\\lim \limits _{x\to p}&(f(x)/g(x))&=&\lim \limits _{x\to p}f(x)/\lim \limits _{x\to p}g(x)\\\lim \limits _{x\to p}&(f(x))^{n}&=&\lim \limits _{x\to p}f(x))^{n}\\\lim \limits _{x\to p}&{\sqrt[{n}]{(f(x)}}&=&{\sqrt[{n}]{\lim \limits _{x\to p}f(x)}}\\\end{matrix}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\lim \limits _{x\to 0}&{\frac {x}{\sin x}}&=1\\\lim \limits _{x\to 0}&{\frac {x}{\tan x}}&=1\\\lim \limits _{x\to 0}&{\frac {\sin x}{x}}&=1\\\lim \limits _{x\to 0}&{\frac {\tan x}{x}}&=1\\\lim \limits _{x\to \infty }&x\sin({\frac {1}{x}})&=1\\\lim \limits _{x\to \infty }&x\tan({\frac {1}{x}})&=1\\\lim \limits _{x\to 0}&{\frac {ax}{\sin bx}}&={\frac {a}{b}}\\\lim \limits _{x\to 0}&{\frac {ax}{\tan bx}}&={\frac {a}{b}}\\\lim \limits _{x\to 0}&{\frac {\sin ax}{bx}}&={\frac {a}{b}}\\\lim \limits _{x\to 0}&{\frac {\tan ax}{bx}}&={\frac {a}{b}}\\\lim \limits _{x\to \infty }&p^{x}&=0,\qquad -1<p<1\\\lim \limits _{x\to \infty }&{\frac {ax^{m}+b}{px^{n}+q}}&={\frac {a}{p}},\qquad m=n\\\lim \limits _{x\to \infty }&{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}-{\sqrt {px^{2}+qx+r}}&={\frac {b-q}{2{\sqrt {a}}}},\qquad a=p\\\lim \limits _{x\to \infty }&{\sqrt[{3}]{ax^{3}+bx^{2}+cx+d}}-{\sqrt[{3}]{px^{3}+qx^{2}+rx+s}}&={\frac {b-q}{3{\sqrt[{3}]{a^{2}}}}},\qquad a=p\\\lim \limits _{x\to \infty }&(1+{\frac {1}{x}})^{x}&=e\\\lim \limits _{x\to 0}&(1+x)^{\frac {1}{x}}&=e\\\lim \limits _{x\to \infty }&(1+{\frac {a}{x}})^{bx}&=e^{ab}\\\lim \limits _{x\to 0}&(1+ax)^{\frac {b}{x}}&=e^{ab}\\\end{matrix}}}$

• Aturan L'Hôpital