Ensiklopedia

Dalam kalkulus , Integral tak tentu ( bahasa Inggris : indefinite integral ), atau disebut sebagai antiturunan ^{[ 1 ]} atau antiderivatif ( bahasa Inggris : antiderivative ) adalah suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru. Fungsi ini belum memiliki nilai pasti (berupa variabel ) sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tak tentu ini disebut "integral tak tentu".

Bila fungsi F adalah integral tak tentu dari suatu fungsi f maka berlaku F'= f .

Proses untuk memecahkan antiderivatif adalah antidiferensiasi. Antiderivatif yang terkait dengan pasti integral melalui " Teorema dasar kalkulus ", dan memberikan cara mudah untuk menghitung integral dari berbagai fungsi.

Sebagai contoh, ${\displaystyle F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}}$ adalah antiturunan dari fungsi ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ , sebab turunan dari ${\displaystyle {\tfrac {x^{3}}{3}}}$ adalah ${\displaystyle x^{2}}$ serta turunan dari konstanta adalah nol. Ketika mencari integral tak tentu dari ${\displaystyle x^{2}}$ , maka akan ada tak berhingga banyaknya antiturunan, seperti ${\displaystyle {\tfrac {x^{3}}{3}},{\tfrac {x^{3}}{3}}+1,{\tfrac {x^{3}}{3}}-2}$ , dst. Dengan demikian, semua integral tak tentu dari ${\displaystyle x^{2}}$ dapat diperoleh dengan mengubah nilai c di ${\displaystyle F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}+c}$ , dengan c menyatakan sebarang konstanta . Grafik antiturunan dari fungsi tersebut dapat digeser secara vertikal, tergantung nilai konstantanya. Hal ini juga berlaku untuk fungsi yang lebih umum, yaitu ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$ , yang mempunyai antiturunan ${\displaystyle F(x)={\tfrac {x^{n+1}}{n+1}}+c}$ jika n ≠ −1 , dan ${\displaystyle F(x)=\ln |x|+c}$ if n = −1 .

Antiturunan dipakai untuk menghitung integral tentu , dengan menggunakan teorema dasar kalkulus : bila fungsi ${\displaystyle F}$ adalah antiturunan dari fungsi terintegralkan ${\displaystyle f}$ di interval ${\displaystyle [a,b]}$ , maka: $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$$ Oleh karena itu, setiap antiturunan (yang tak berhingga banyaknya) dari fungsi ${\displaystyle f}$ dapat disebut sebagai "integral tak tentu" dari ${\displaystyle f}$ , dan antiturunan tersebut ditulis menggunakan simbol integral tanpa adanya batas. $${\displaystyle \int f(x)\,dx.}$$

Terdapat rumus lain dalam teorema dasar kalkulus. Setiap fungsi kontinu ${\displaystyle f}$ memiliki antiturunan, dan antiturunan F dirumuskan sebagai integral tak tentu dari ${\displaystyle f}$ dengan batas atas variabel: $${\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt.}$$

Terdapat banyak fungsi yang antiturunannya tidak dapat dinyatakan dalam , seperti fungsi polinomial , fungsi eksponensial , fungsi logaritma , fungsi trigonometri , fungsi invers trigonometri , dan juga gabungan fungsi-fungsi lain. Fungsi-fungsi yang dijelaskan tadi adalah , , , fungsi integral logaritmik , dan .

${\displaystyle \int 1\,\,{\rm {d}}x=x+C}$

${\displaystyle \int x^{n}\ \,{\rm {d}}x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\mbox{ jika }}n\neq -1}$

${\displaystyle \int {1 \over x}\,{\rm {d}}x=\ln {\left|x\right|}+C}$

${\displaystyle \int {1 \over {a^{2}+x^{2}}}\,{\rm {d}}x={1 \over a}\arctan {x \over a}+C}$

• Integral
• Daftar integral

• Introduction to Classical Real Analysis , by Karl R. Stromberg; Wadsworth, 1981 (see also )
• Historical Essay On Continuity Of Derivatives , by Dave L. Renfro; http://groups.google.com/group/sci.math/msg/814be41b1ea8c024