Ensiklopedia

Dalam analisis matematika , teorema Bohr–Mollerup adalah sebuah teorema yang dibuktikan oleh matematikawan Denmark dan . Teoremanya mencirikan fungsi gamma , didefinisikan untuk ${\displaystyle x>0}$ oleh

${\displaystyle \Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt}$

sebagai fungsi hanya ${\displaystyle f}$ pada interval ${\displaystyle x>0}$ yang secara bersamaan memiliki tiga sifat

• ${\displaystyle f(1)=1}$ , dan
• ${\displaystyle f(x+1)=xf(x)}$ untuk x > 0 dan
• ${\displaystyle f}$ adalah .

Pembahasan teorema ini ada dalam buku Artin The Gamma Function , yang telah dicetak ulang oleh AMS dalam koleksi tulisan Artin.

Teorema ini pertama kali diterbitkan dalam buku teks tentang analisis kompleks , seperti yang menurut Bohr dan Mollerup telah dibuktikan.

Teorema Bohr–Mollerup. ${\displaystyle \Gamma (x)}$ adalah satu-satunya fungsi yang memenuhi ${\displaystyle f(x+1)=xf(x)}$ dengan ${\displaystyle \log(f(x))}$ cembung dan juga dengan ${\displaystyle f(1)=1}$ .

Misalkan ${\displaystyle \Gamma (x)}$ adalah fungsi dengan sifat asumsi yang ditetapkan di atas: ${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}$ dan ${\displaystyle \log(\Gamma (x))}$ adalah cembung, dan ${\displaystyle \Gamma (1)=1}$ . Dari ${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}$ , kita bisa membangun:

${\displaystyle \Gamma (x+n)=(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)\cdots (x+1)x\Gamma (x)}$

Tujuan dari ketentuan bahwa ${\displaystyle \Gamma (1)=1}$ memaksa sifat ${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}$ untuk menduplikasi faktorial dari bilangan bulat sehingga kita bisa menyimpulkan sekarang bahwa ${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$ jika ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ dan jika ${\displaystyle \Gamma (x)}$ ada sama sekali. Karena hubungan kita untuk ${\displaystyle \Gamma (x+n)}$ , jika kita bisa mengerti sepenuhnya ${\displaystyle \Gamma (x)}$ untuk ${\displaystyle 0<x\leq 1}$ , maka kita memahami ${\displaystyle \Gamma (x)}$ untuk semua nilai ${\displaystyle x}$ . Kemiringan dari sebuah garis menghubungkan dua titik ${\displaystyle (x_{1},\log(\Gamma (x_{1})))}$ dan ${\displaystyle (x_{2},\log(\Gamma (x_{2})))}$ , sebut saja ${\displaystyle S(x_{1},x_{2})}$ , meningkat secara monoton di setiap argumen dengan ${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$ karena kita memiliki ${\displaystyle \log(\Gamma (x))}$ yang ditetapkan adalah cembung. Dengan demikian, kita tahu bahwaː

${\displaystyle S(n-1,n)\leq S(n,n+x)\leq S(n,n+1)\quad {\text{untuk semua }}x\in (0,1].}$

Setelah menyederhanakan menggunakan berbagai sifat-sifat logaritma, dan kemudian mengeksponesiasikan (yang mempertahankan pertidaksamaan karena fungsi eksponensial meningkat secara monotonik) kita memperoleh:

${\displaystyle (n-1)^{x}(n-1)!\leq \Gamma (n+x)\leq n^{x}(n-1)!}$ .

Dari kerja sebelumnya, ini berkembang menjadi:

${\displaystyle (n-1)^{x}(n-1)!\leq (x+n-1)(x+n-2)\cdots (x+1)x\Gamma (x)\leq n^{x}(n-1)!}$ ,

dan juga:

${\displaystyle {\frac {(n-1)^{x}(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)\cdots (x+1)x}}\leq \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\left({\frac {n+x}{n}}\right)}$ .

Barisan terakhir adalah pernyataan yang kuat. Khususnya, itu benar untuk semua nilai ${\displaystyle n}$ . Artinya, ${\displaystyle \Gamma (x)}$ tidak lebih besar daripada sisi kanan untuk setiap pilihan ${\displaystyle n}$ dan juga, ${\displaystyle \Gamma (x)}$ tidak kurang dari sisi kiri untuk setiap pilihan ${\displaystyle n}$ . Setiap pertidaksamaan tunggal berdiri sendiri dan dapat diartikan sebagai pernyataan independen. Karena fakta ini, kita akan bebas untuk memilih nilai-nilai ${\displaystyle n}$ yang berbeda untuk sisi kanan dan sisi kiri. Khususnya, jika kita menetapkan ${\displaystyle n}$ untuk sisi kanan dan memilih ${\displaystyle n+1}$ untuk sisi kiri, kita mendapatkan:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {((n+1)-1)^{x}((n+1)-1)!}{(x+(n+1)-1)(x+(n+1)-2)\cdots (x+1)x}}&\leq \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\left({\frac {n+x}{n}}\right)\\{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}&\leq \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\left({\frac {n+x}{n}}\right)\end{aligned}}}$

Terbukti dari baris terakhir ini bahwa suatu fungsi diapit di antara dua ekspresi,suatu teknik analisis umum untuk membuktikan berbagai hal seperti adanya suatu limit, atau kekonvergenan. Misalkan ${\displaystyle n\to \infty }$ :

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n+x}{n}}=1}$

jadi sisi kiri dari pertidaksamaan terakhir didorong untuk menyamakan sisi kanan dalam limit dan:

${\displaystyle {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}}$

diapit di antaranya. Itu hanya bisa berarti bahwa:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}=\Gamma (x)}$ .

Dalam konteks pada bukti ini, ini berarti bahwa:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}}$

memiliki tiga sifat-sifat tertentu milik ${\displaystyle \Gamma (x)}$ . Juga, buktinay menyediakan sebuah ekspresi yang spesifik untuk ${\displaystyle \Gamma (x)}$ . Dan bagian penting terakhir dari pembuktiannya adalah mengingat bahwa limit dari sebuah urutan tersebut tunggal. Ini berarti bahwa untuk setiap pilihan ${\displaystyle 0<x\leq 1}$ hanya satu kemungkinan bilangan ${\displaystyle \Gamma (x)}$ bisa ada. Oleh karena itu, tidak ada fungsi lain dengan semua sifat-sifat yang ditetapkan ${\displaystyle \Gamma (x)}$ . Ujung longgar yang tersisa adalah pertanyaan untuk membuktikan bahwa ${\displaystyle \Gamma (x)}$ masuk akal untuk semua ${\displaystyle x}$ dimana:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}}$

ada. Masalahnya adalah bahwa pertidaksamaan ganda pertama kita:

${\displaystyle S(n-1,n)\leq S(n+x,n)\leq S(n+1,n)}$

dibangun dengan batas ${\displaystyle 0<x\leq 1}$ . Jika, katakan, ${\displaystyle x>1}$ maka faktanya bahwa ${\displaystyle S}$ meningkat secara monotonik akan membuat ${\displaystyle S(n+1,n)<S(n+x,n)}$ , bertentangan dengan pertidaksamaan di mana seluruh bukti dibangun. Namun,

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x+1)&=\lim _{n\to \infty }x\cdot \left({\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\right){\frac {n}{n+x+1}}\\\Gamma (x)&=\left({\frac {1}{x}}\right)\Gamma (x+1)\end{aligned}}}$

yang mendemonstrasikan bagaimana melakukan bootstrap ${\displaystyle \Gamma (x)}$ untuk semua nilai ${\displaystyle x}$ dimana limit didefinisikan.

• Hazewinkel, Michiel , ed. (2001) [1994], , Encyclopedia of Mathematics , Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Bohr–Mollerup Theorem" . MathWorld .
• Proof of Bohr–Mollerup theorem , PlanetMath.org .
• Alternative proof of Bohr–Mollerup theorem , PlanetMath.org .
• Artin, Emil (1964). The Gamma Function . Holt, Rinehart, Winston.
• Rosen, Michael (2006). Exposition by Emil Artin: A Selection . American Mathematical Society.
• Mollerup, J., Bohr, H. (1922). Lærebog i Kompleks Analyse vol. III, Copenhagen . ( Textbook in Complex Analysis )